Metodi iterativi

L'idea alla base di questi due metodi iterativi è quella di ``splittare'' la matrice $A$ in $M-N$ con $\det(M)\neq 0$, quindi

$$(M-N)x=b, Mx=Nx+b\rightarrow x= M^{-1}Nx +M^{-1}b$$

. Ovviamente non viene calcolata $M^{-1}$ poiché questa operazione è troppo costosa viene utilzzata la seguente formula: ^1.1

$$x^{k+1}=M^{-1}Nx^k + M^{-1}b$$

$$Mx^{k+1}=Nx^k + b$$

ed M deve essere di tipo semplice. Affinché il metodo converga ( $x^{k+1} \rightarrow \overline{x}$ soluzione) è necessario che $(M^{-1}N)^{k+1}$ tenda a zero, perché $x^{k+1} -\overline{x}$ = $(M^{-1}N)^{k+1}(x^0-\overline{x})$. Da notare che a differenza delle fattorizzazioni, nei metodi iterativi compare anche l'errore di troncamento, in quanto la convergenza alla soluzione è di tipo asintotico e quindi è necessario troncare la procedura ad un certo punto.