L'interpolazione mediante spline prevede un approccio diverso al problema dell'interpolazione. Le spline sono funzioni polinomiali a tratti che interpolano quindi la funzione tenendo fisso il grado del polinomio ma dividendo l'intervallo di interpolazione in intervalli più piccoli e considerando un polinomio diverso per ognuno di questi sottointervalli.
In particolare consideremo le spline cubiche cioè quelle di grado 3.
Formalmente, data una partizione dell'intervallo di interpolazione ,
si dice interpolante se: .
Inoltre si può dimostrare che è una spline cubica su è uno spazio vettoriale di dimensione . La dimensione dello spazio implica che servono condizioni per determinare univocamente una spline cubica; di queste derivano dalle condizioni di interpolazione.
Abbiamo implementato il metodo delle spline cubiche naturali che prevede di scegliere queste due ulteriori condizioni.
La derivata di è una spline di grado , quindi:
Se indichiamo con l'i-esimo intervallo
e con
ricavando l'equazione di
che è il segmento di
retta che unisce i punti
e
e
integrando due volte per trovare l'espressione di si
ottengono i seguenti risultati:
Andiamo ora ad imporre la condizione di continuità della derivata prima. Infatti, come abbiamo detto, una spline cubica dev'essere, per definizione ,di classe .
Facendo le opportune sostituzioni nella (3.6) si ottengono equazioni della forma
La matrice dei coefficienti di questo sistema è tridiagonale e
simmetrica, a diagonale dominante, definita positiva e quindi non
singolare, il problema è quindi ben posto.